目前，由于铅酸蓄电池的经济性和技术成熟性，使其成为丰要的储能设备。为了达到优化蓄电池电力系统效率的目的，对蓄电池容量的实时监控必不可少。而由于蓄电池的非线性特性，反映其容量的关键参数荷电状态(SOC)，作为电池的内特性不可能直接进行测量。SOC数值只能使用工作电压、电流等直接测量得到的外特性参数估算获得。
本文使用最优估计理论建立蓄电池的动态工作模型，实现蓄电池SOC的实时估算。该动态模型被划分为两个部分：第一部分是蓄电池数学解析描述，即对蓄电池工作特性的开环描述；第二部分是加入动态过程的描述，实现蓄电池工作特性的闭环描述。对于蓄电池的解析模型，较为通用的方式是建立描述输入输出之间关系的数学模型，通过实验来确定模型的某些参数，或者模型内部的某些状态量。然而，仅仅使用开环描述模型得到动态输出与实际的动态情况常常存在偏差，这种误差主要归咎于测量过程中的异常偏差。当这种误差出现时，只有闭环描述模型才能根据这些误差对模型进行调整。本文使用基于电化学理论的安时模型实现电池数学解析描述，而动态过程描述则使用带有自矫正能力的扩展卡尔曼滤波算法。
1、基于电化学的安时模型
普通的安时计量法使用下式估算蓄电池的SOC。
式中：s(0)为初始时刻的蓄电池SOC数值，若从充满开始放电，其值可以设为1；s(t)为t时刻的SOC实时值；Q为蓄电池的标称容量；η为库仑因子。通过调整库仑因子可以满足不同放电电流下的SOC计算。实际应用中，库仑因子多通过试验确定为常数或是关于放电电流I的函数。但是，蓄电池的标称容量不等于实际容量，且实际容量在使用中也会衰减。同时，确定库仑因子过程中产生的误差，也会影响到安时估算的精度。为了对上述问题进行改进，提高安时法 SOC估算的精度。本文使用电化学理论，构造新的基于安时法的SOC估算模型。
1.1 电解液活性物质浓度损失函数
蓄电池内部电解液所含有的活性物质，其浓度损失百分比可以表示为：
式中：C*为初始浓度；C(t)为电解液中t时刻活性物质的浓度；时间t的取值范围[0，L]，L为放电总时间。
当使用蓄电池一维的电化学模型，根据电化动力学理论，最终可以得到电解液活性物质浓度损失百分比函数：
式中：v为反应中电子的数目；F为法拉利常数；A为电极的面积；D为扩散系数。
1.2 电化学安时模型
由于电解液的活性物质浓度和电池的SOC成正比的关系，设比例系数为M，可以直接得出电池t时刻的SOC解析表达式：
若考虑电流值为I的恒流放电过程，放电截止时ρ(L)1，则可以得到以下等式：
对于给定的恒流放电集合{I*，*=1，2，…，n}，可以使用最小二乘法得到最优的α、β参数，其中：
得到模型参数之后，为方便模型的实际应用，使用积分的矩形近似方法改写(4)式，用以获得离散时间上的近似递推模型，在间隔周期△t足够小的情况下，递推模型可以写为：
式中：sk表示k时刻的电池SOC的实时值；Ik表示k时刻的电池电流。对比式(1)的标准安时估算模型，可以发现α等于电池的标称容量Q，库仑因子则由β 和放电时间k△t决定。从电化学角度分析，表达式(7)的括号中的第二项表示蓄电池中无法使用的总电量，当β数值增加的时候，第二项趋向于零。因此，较大的β数值意味着蓄电池可以被看作理想储能元件，所有充电电量都可以完全通过放电过程释放。这是因为大的β数值表明更快的扩散效应，蓄电池电解液中的活性物质可以更快的到达电极的表面。反之，小的β数值表明蓄电池储能损失大，大量的充电电量无法在放电过程中释放。
2、扩展卡尔曼滤波闭环估算模型
改进安时模型能够较好地反应电池的动态特性，但这种蓄电池SOC计算方式只是一种开路的估算方式，存在着传统安时计量法的缺点，即对电流测量中的测量偏差十分敏感，某一个时刻出现的测量偏差，可以影响到该时刻后所有的SOC估算值。如果将估算模型构造成闭环反馈的模式，则可以自动修正电流测量中的偏差，给出正确的SOC估算值。在(7)式递推模型的基础上，可以使用卡尔曼滤波器方法构造出具有闭环特性的电池SOC估算模型。
首先将(7)式作为蓄电池SOC估算系统的状态方程，蓄电池SOC为状态量，蓄电池的工作电流作为系统的输入。然后，利用蓄电池的工作电压构造系统的观测方程。
蓄电池负载电压与当前时刻蓄电池的开路电压(Vcc)之间的关系是：
式中：R为蓄电池内阻。又由于Vcc和内阻都与其SOC有着直接的关系，故可以使用关于sk的函数，得到卡尔曼滤波算法中的观测方程：
式中：uk表示k时刻的电池端电压，则(7)式和(9)式组成了蓄电池SOC估算的卡尔曼滤波系统。确定(9)式的具体过程将在实验部分详细分析。
卡尔曼滤波器问题可以描述为：使用观测量{I1，I2，…，Ik}和{u1，u2，…，uk}找到最优的sk估算值�？ǘ瞬ㄋ惴ú捎梅蠢】刂频姆椒ü浪愎套刺郝瞬ㄆ鞴浪愠龉讨心骋皇笨痰淖刺�，然后通过测量特定变量的方式获得反馈。因此卡尔曼滤波器可分为两个部分：时间更新方程和测量更新方程。时间更新方程负责及时向前推算当前状态变量和误差协方差估算的值，以便为下一个时间状态构造先验估算。测量更新方程负责反馈，它将先验估算和新的测量变量结合以构造改进的后验估算。具体算法如参考文献所示。
3、实验验证
为考察前文提及的蓄电池SOC估算方法的可行性和有效性，本文以某同产6 V／4.5 Ah铅酸蓄电池为例建立SOC估算模型，并分析该模型的估算精度。试验通过可编程电子负载完成测试流程，通过高精度采集设备获得待分析数据。
3.1 确定电化学安时模型参数
首先，通过一系列恒流放电数据确定电化学安时模型的内部参数。利用0.2、1、2、3 A四组恒流放电数据，如表1中黑体所示，采用最小二乘法计箅得到α、β参数值。电池始终从充满状态开始放电，蓄电池输出电压衰减到5.4 V作为放电截止条件。
经计算得到：α=4.007、β=2.115，为了验证模型的有效性，将如表1所示8组时间数据输入到(6)式，计算出估算的放电电流值。从表1的实际值与估算值之间的比较可以看出，该模型在恒流放电估算上精度较高。同时，从获得的参数可以看出，该铅酸蓄电池由于使用或者制造工艺问题，名义容量已经衰落为 4.007 Ah。
3.2 确定闭环估算中的观测方程
根据前面分析，为实现卡尔曼滤波算法，必须得到如(9)式所示观测方程。考虑到蓄电池的开路电压和SOC的关系以及内阻和SOC的关系均可以使用多项式近似方法获得，本文分别使用涓流放电和大电流间歇发电实验得到实验数据，再通过试验数据采用多项式近似得到具体的函数表达式。
首先，通过涓流放电实验得到式中开路电压和SOC的关系曲线。蓄电池从充满状态，在C／20(0.2 A)放电电流下，持续到放电截止，记录电压曲线如图1所示。涓流持续放电的目的是为了最小化蓄电池的动态效应，有效消除蓄电池内部的化学滞后和蓄电池内阻的影响，从而得到Vcc和SOC的天系曲线。该曲线经过多项式近似，得到如表2所示Voc(Sk)函数表达式。
然后，大电流间歇放电实验得到内阻和SOC的关系曲线。放电循环执行如下流程：(1)10 min 2 A放电；(2)10 min停止放电，得到蓄电池负载电压如图2所示。同时图2也给出了依据放电数据计算出的蓄电池内阻曲线。表2列出了R(sk)函数表达式。与实际蓄电池内阻比较，实验所得内阻数值偏大，其主要原因是将测量和放电连接单元的电阻也视为内阻。由于所有数据均采集于同一实验，这样处理并不会对实验产生影响。
3.3 开环估算性能
为证明(7)式递推估算模型在变电流放电过程中的SOC估算有效性，使用如图3所示的变电流放电试验数据进行验证，图中给出了放电电流曲线和估算的SOC曲线。经(7)式递推计算得到，放电应该终止于4 608 s=76.8 min时刻，而实际放电试验中，放电终止于5 004 s=83.4 min时刻，估算相对误差为8.59％。为减小计算量，递推过程中(7)式被截断于m=5。
3.4 闭环估算性能
在引入反馈后，反馈将对原开环系统产生影响。为分析反馈带来的影响，依然采用图3所示放电过程，利用闭环估算模型估算SOC数值，得到估算曲线如图4所示。作为对照，图4同时给出了开环估算曲线。闭环估算过程相对于开环估算，其平均绝对误差为2.020 1％、均方根误差为2.364 5％。结果表明闭环系统对原开环系统的影响很小。同时，也证明了上文得到观测方程方法的有效性。
为了体现闭环反馈的实际应用意义，调整开环估算中由于测量偏差导致的估算误差。住电流测量过程中，人为的加入了均值为0.5、方差为1的测量偏差，使用开环估算和闭环估算分别得到曲线如图5所示。图中作为参照的真实SOC曲线是无测量偏差情况下得到的开环估算曲线。此时的闭环反馈估算的平均绝对误差为 2.430 4％，均方根误差为2.742 5％，依然保证了较高的估算精度，而开环估算完全偏离了实际值。相比文献中的模型，本文的闭环模型需要确定的参数少，对于蓄电池电路模型的依赖性低，运算过程简沽，不需要复杂的矩阵运算。使用三种估算方法对上述含有噪声的数据进行分析估计，得到如图6所示绝对误差曲线。
4、结论
使用基于电化学理论的电化学安时模型，实现对蓄电池SOC的在线估算，并针对电化学安时模型开环估算的特性，构造卡尔曼滤波器算法的闭环系统，以减小测量偏差对估算精度的影响。实验表明：
(1)基于电化学理论的蓄电池动态模型可以用于有效的蓄电池实时SOC估算。
(2)将闭环反馈计算引人开环的安时估算中，对原开环估算精度没有影响，且可以有效地修正由测量偏差引起的估算误差。
(3)通过涓流放电和大电流间歇放电获取试验数据和多项式近似的方式得到观测方程，可以有效地应用于卡尔曼滤波器闭环反馈计算。
(编辑：全球电池网)
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